Oui. Selon l’article L. 313-11 du Code de l’entrée et du séjour des étrangers et du droit d’asile, une carte de séjour «  vie privée et familiale  » peut être délivrée à toute personne étrangère «  résidant habituellement en France dont l’état de santé nécessite une prise en charge médicale dont le défaut pourrait entraîner pour elle des conséquences d’une exceptionnelle gravité, sous réserve qu’[elle] ne puisse effectivement bénéficier d’un traitement approprié dans le pays dont [elle] est originaire  ».
Pour sa demande, l’intéressé doit fournir un rapport médical établi par un médecin agréé (liste disponible en préfecture) ou un praticien hospitalier. Le préfet du département décidera de délivrer ou non la carte de séjour, au vu d’un avis émis par un médecin inspecteur de santé publique ou, à Paris, par le médecin chef du service médical de la préfecture de police.